El lenguaje matemático es exacto, mientras que la lengua es metafórica, vaga, sugerente: capaz de decirlo todo pero sin precisión. Y también dije la semana pasada, a propósito de la lengua, que implica una paradoja: las palabras no son la realidad, solo la representan y, sin embargo, vivimos en el lenguaje. Hoy, con las matemáticas, nos enfrentamos a un lenguaje distinto, y la pregunta que cabe hacernos es en extremo más compleja: ¿las matemáticas son la realidad? Esta dificultad nos obliga a un preámbulo:
Todos sabemos que las matemáticas comenzaron como un simple sistema de conteo, seguramente para llevar la cuenta de lo que se tenía, se prestaba o se debía. El contar se hizo con los dedos de una mano o de ambas, o sea, de 5 en 5 o de 10 en 10, y en otras ocasiones se incluían también los dedos de los pies y la base era 20. Y había una forma más: contar con el pulgar las 12 falanges de los dedos de una mano, y cada docena se señalaba levantando un dedo de la otra mano, así se llegaba a 60: 12 falanges por 5 dedos dan 60. Con esto lo que quiero decir es que los orígenes de las matemáticas fueron completamente prácticos y simples, literalmente se echó mano de lo que estaba más a la mano: dedos, piedras ("cálculo" significa "piedra") o muescas sobre un palo. El propósito era enteramente práctico.
Contar con piedras, dedos o muescas no era, en sentido estricto, contar con números, entidades completamente abstractas como las entendemos hoy, pues, 1, 2, 3… hoy es uno, dos o tres de cualquier cosa. En la lengua que usamos, sin embargo, todavía quedan algunas reliquias de esa relación concreta con los "números". El 2 no era un dos de cualquier cosa, sino un 2 de algo: 2 bueyes decimos que es una "yunta", 2 cantantes decimos que es un "dueto"y, en la palabra "par", aún se conserva la idea de que son 2 pero de algo muy parecido: "un científico está con otro científico que es su par", o "tengo un par de reyes"... Lograr la noción de número es resultado de un esfuerzo enorme de abstracción o, para ser más claro todavía, no se pueden sumar 2 peras con 2 manzanas, pero sí se pueden sumar 2+3, pues son números: entidades abstractas.
Con el tiempo fue conquistándose esta abstracción y también fue cambiando el propósito: dejó de ser exclusivamente práctico y se volvió religioso, filosófico y científico. Hoy, las matemáticas se presentan como el instrumento más potente de cuantos se han inventado o descubierto. Gracias a ellas, en la actualidad sabemos: cuándo se originó el universo o a qué velocidad viaja la luz; podemos penetrar en lo infinitesimalmente pequeño o en lo sideralmente inmenso: nada escapa al poder de las matemáticas.
Dicho esto, volvamos a nuestra pregunta: ¿las matemáticas son la realidad? Para muchos matemáticos, desde Pitágoras, las matemáticas son reales, son la estructura misma de la realidad. Aunque, quien lo dijo francamente fue Galileo en una muy conocida frase: "la naturaleza está escrita en caracteres matemáticos, los cuales son triángulos, círculos y otras figuras geométricas". Con Galileo, en el siglo XVII, la física se volvió física matemática, o dicho de otro modo: las matemáticas se convirtieron en la herramienta que permite a los físicos explicar la naturaleza. Pero detengámonos un momento en la frase de Galileo: ¿qué significa que la naturaleza esté cifrada matemáticamente? Pues que si uno pone en relación ciertas medidas y las relaciona mediante operaciones matemáticas (sumas, restas, divisiones…) es posible, por ejemplo, entender el movimiento de los cuerpos y prever dónde se encontrarán en un momento determinado. Esta maravilla la hemos atestiguado con la llegada del ser humano a la Luna, hazaña lograda con la física de Newton. Lo que se logró fue que a un cuerpo enorme en movimiento, la Luna, con un cohete enviado desde otro cuerpo enorme y también en movimiento, la Tierra, fuera alcanzado en un punto preciso que queda a una distancia de 300 mil kilómetros. En síntesis: Las matemáticas nos sirven para explicar el funcionamiento del universo y lo hacen de manera exacta.
Pero las matemáticas no sólo sirven para entender el movimiento, también hay números que se han descubierto o inventado para explicar procesos naturales. Por ejemplo, la secuencia de Fibonacci, esa numeración que se obtiene de sumar los dos números anteriores para obtener el siguiente (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…) está en la disposición de las hojas y ramas de las plantas (así obtienen una mejor exposición al sol), en la forma de las conchas de los caracoles, en el crecimiento de poblaciones de conejos… y también el número de Euler o número "e": está presente en la curva que forma una cadena o un cable al colgar entre dos puntos; en la velocidad a la que un objeto se enfría y se acerca a la temperatura ambiente; en el crecimiento de las colonias de bacterias, plantas o, incluso, en la medida con la que crece la población humana… Con las matemáticas llegamos a lugares a los que no podemos acceder por la frontera del tamaño: lo pequeñísimo y lo cósmico: la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, los dos portentos de la física actual, son matemáticas cuyos cálculos hacen posible, desde las computadoras hasta el GPS. Por solo mencionar algunos ejemplos.
¿Son reales las matemáticas?, ¿los números están en la realidad? Estas preguntas no son matemáticas sino filosóficas y, por ello, no tienen una sola respuesta; pertenecen a ese movedizo terreno en el que casi por definición domina la diversidad de los puntos de vista: la arena filosófica. Hasta aquí hemos expuesto, sobre todo, el punto de vista que se denomina: realismo o platonismo matemático. Hay muchas concepciones, pero si hubiera que encontrar la diametralmente opuesta al realismo, esta sería la que encabeza David Hilbert, padre del formalismo, seguido por varios matemáticos que tienen la curiosa costumbre de endosar sus aportaciones a un personaje legendario: Bourbaki, un militar del que existe una estatua en la ciudad de Nancy, Francia, sitio donde surge el grupo Bourbaki: matemáticos que continuaron el camino de Hilbert, para quien las matemáticas no significaban nada, más que un enorme aparato de consistencia formal sin nexo ninguno con lo real.
Las implicaciones de estas dos posturas son problemáticas por distintos motivos: sostener con el realismo matemático que los números están ahí (o sea, que existen al margen de los seres humanos) y que las matemáticas no se inventan sino que se descubren tiene implicaciones delicadas: equivale a suponer que más allá de los fenómenos que aparecen en la conciencia, hay un nóumeno, una cosa en sí, y que ese nóumeno es matemático. Preguntémonos: ¿qué hay detrás de mandar al espacio mensajes matemáticos? La suposición de que si acaso hay vida inteligente extraterrestre, esos extraterrestres entenderán nuestras matemáticas humanas. La suposición realista está también, según mi parecer, en la confianza que se les tiene a los cálculos matemáticos para dar cuenta de realidades a las que no podemos acceder de ninguna otra forma, o sea, esta suposición es lo que está detrás del trabajo de los físicos actuales, lo admitan o no. Y, por el otro lado, cerrar los ojos con los formalistas para ignorar la presencia de lo matemático en el mundo es también delicado, los ejemplos que mencioné de aparición de números en la realidad son innegables.
Yo no soy matemático; a lo más, un amante de las matemáticas desde hace décadas. Alguien que se ha asomado a su historia y ha intentado entender su marcha: sé que en ocasiones el esfuerzo matemático ha dado con hallazgos iguales: que el cero, por ejemplo, se desarrolló de manera independiente en la India y entre los mayas o, también, que Newton y Leibnitz llegaron, cada uno por su lado, a formular el calculo infinitesimal. Y me he maravillado ante las aportaciones del joven Évariste Galois para resolver las ecuaciones polinómicas y lo azaroso de que su trabajo se salvara. Y me he maravillado también ante el genio de Gauss, quien desde niño sorprendió con la osadía de sus propuestas. Y qué decir de otro genio que, sin ninguna formación académica, hizo aportaciones extraordinarias a la teoría de números, me refiero a Ramanujan… Y quizás por ello, ante las matemáticas solo puedo repetir el asombro expresado por Einstein ante el problema que he intentado plantear aquí: "¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto humano independiente de la existencia, se adapten de forma tan admirable a los objetos de la realidad?"
